Як називається графік квадратичної функції: Опис та властивості

Графік квадратичної функції є важливим елементом вивчення алгебри та аналізу. Щоб зрозуміти, як виглядає такий графік та які його властивості, необхідно розглянути різні аспекти квадратичної функції, її математичне визначення, а також варіанти використання.

Визначення квадратичної функції

Квадратична функція — це багаторазова функція, яка може бути записана у формі:

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

де:

• ( a, b, c ) — це константи,
• ( a \neq 0 ) (якщо ( a = 0 ), то це стане лінійною функцією),
• ( x ) — змінна.

Графік квадратичної функції є параболою, що відкривається вгору або вниз в залежності від знаку коефіцієнта ( a ).

Як називається графік квадратичної функції

Графік квадратичної функції називається параболою. Вона має характерний U-подібний або перевернутий U-подібний вигляд.

Основні характеристики параболи

1. Вершина параболи:

   • Це найвища або найнижча точка графіка залежно від напрямку відкриття.
   • Координати вершини обчислюються за формулами:
     [
     x_v = -\frac{b}{2a}
     ]
     [
     y_v = f(x_v) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
     ]

2. Дискримінант:

   • Дискримінант квадратичної функції ( D = b^2 – 4ac ) дозволяє визначити кількість коренів, які має функція, а отже, і кількість перетинів графіка з віссю ( x ):

     • Якщо ( D > 0 ), то є два різних корені.
     • Якщо ( D = 0 ), то є один корінь (дотик до осі ( x )).
     • Якщо ( D < 0 ), графік не перетинає вісь ( x ) (немає дійсних коренів).

3. Напрямок відкриття:

   • Якщо ( a > 0 ), парабола відкривається вгору.
   • Якщо ( a < 0 ), парабола відкривається вниз.

4. Ось симетрії:

   • Всяка парабола має вісь симетрії, яка проходить через вершину та задана формулою:
     [
     x = -\frac{b}{2a}
     ]

5. Перетини з осями координат:

   • Щоб знайти точки перетину з віссю ( x ), потрібно розв’язати рівняння ( f(x) = 0 ).
   • Щоб знайти точку перетину з віссю ( y ), потрібно обчислити ( f(0) = c ).

Властивості графіка квадратичної функції

1. Монотонність

Парабола має різні інтервали монотонності:

• Якщо ( a > 0 ), то функція спочатку зростає, досягає вершини, а потім знову зростає.
• Якщо ( a < 0 ), то функція спочатку зменшується, досягає вершини, а потім знову зменшується.

2. Значення функції

Залежно від знаку ( a ):

• Для ( a > 0 ): величина функції досягає мінімального значення в точці вершини.
  [
  \text{Min } f(x) = f(x_v)
  ]
• Для ( a < 0 ): функція досягає максимального значення.
  [
  \text{Max } f(x) = f(x_v)
  ]

3. Параметри графіка

Графік квадратичної функції може змінюватись в залежності від значення коефіцієнтів ( a, b, c ):

• Зміна ( a ) вплине на "розтягування" або "сжаття" параболи. Чим більше значення модулю ( a ), тим уже графік.
• Зміна ( b ) та ( c ) відповідає за зсув параболи уздовж осях координат.

4. Применшення та збільшення

1. Для ( a > 0 ):

   • При зменшенні ( a ) (підвищенні уражу), графік стане "ширшим".
   • При збільшенні ( a ) (пониженні уражу), графік стане "вужчим".

2. Для ( a < 0 ):

   • Аналогічно, зміна ( a ) вплине на форму параболи, при збільшенні значення абсолютного значення ( a ) графік стане "вужчим", а при зменшенні — "ширшим".

5. Додаткові властивості

• Перетини з осями:

  • Графік квадратичної функції перетинає вісь ( y ) в точці ( (0, c) ).
  • Кількість перетинів з віссю ( x ) залежить від дискримінанту.

• Використання параметрів:

  • Параметри квадратичної функції можуть мати різное значення в прикладних задачах, наприклад у фізиці, економіці.

Приклади квадратичних функцій

Приклад 1: Стандартний вигляд

Розглянемо функцію:
[ f(x) = 2x^2 + 4x + 1 ]

1. Визначимо значення параметрів:

   • ( a = 2 ), ( b = 4 ), ( c = 1 )
   • Дискримінант:
     [
     D = 4^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 – 8 = 8 > 0 \text{ (два корені)}
     ]

2. Вершина:

   • ( x_v = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1 )
   • ( y_v = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 – 4 + 1 = -1 )

3. Ось симетрії:

   • ( x = -1 )

Приклад 2: Перевернута парабола

Розглянемо функцію:
[ f(x) = -x^2 + 3x – 2 ]

1. Значення параметрів:

   • ( a = -1 ), ( b = 3 ), ( c = -2 )
   • Дискримінант:
     [
     D = 3^2 – 4(-1)(-2) = 9 – 8 = 1 > 0 \text{ (два корені)}
     ]

2. Вершина:

   • ( x_v = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2} )
   • ( y_v = f\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) – 2 )
   • Обчислимо:
     [
     = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} – 2 = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} – \frac{8}{4} = \frac{1}{4}
     ]

3. Ось симетрії:

   • ( x = \frac{3}{2} )

Графічне зображення квадратичної функції

Для побудови графіка квадратичної функції можна скористатися графічними калькуляторами або комп’ютерними програмами. Графік матиме форму параболи, а її специфічні властивості можуть бути показані на графіку.

Етапи побудови

1. Визначити координати вершини.
2. Знайти точки перетину з віссю ( x ) (якщо є) і з віссю ( y ).
3. Позначити осі симетрії.
4. Побудувати графік з врахуванням вигляду функції (зростаючий чи спадаючий).

Застосування квадратичних функцій в реальному житті

Квадратичні функції знайшли застосування в багатьох сферах. Ось кілька прикладів:

1. Фізика

• Кинематика: Дослідження руху тіл під дією гравітаційних сил. Кінетична енергія може бути описана за допомогою квадратичної функції.

2. Економіка

• Построення моделі попиту: Квадратичні функції можуть використовуватись для опису залежності попиту від ціни.

3. Архітектура

• Дизайн будівель: Використання параболи для створення естетичних форм у будівлях та спорудах.

4. Комп’ютерна графіка

• Моделювання об’єктів: Використання квадратичних функцій для створення форм та кривих в комп’ютерній графіці.

5. Машинобудування

• Оптимізація: Квадратичні функції застосовуються для оптимізації процесів виготовлення та забезпечення надійності механізмів.

Таким чином, квадратична функція та її графік — це важливі інструменти, які використовуються в різних сферах науки і техніки. Її властивості та технічні аспекти можуть слугувати основою для подальшого вивчення більш складних математичних концепцій.